sábado, 2 de agosto de 2008

ALGEBRA DE BOOLE



CONCEPTO

Herramienta lógica para el diseño de circuitos electrónicos. el algebra de boole utiliza como es conocido el sistema binario, unos y ceros representados en variables: A, B, C, D, etc, cada variable puede ser directa A, B, C, D, o negada, À. B`, C`, D`, el elemento eléctrico básico es el interruptor,
que pude estar abierto off posicion denominada cero, y cerrado posición denominada uno,

TERMINOLOGIA INICIAL

BIT unidad minima de informacion cada cifra de un numero binari 0 o 1
BYTE paquete de 8 bits
kbit 1000bits
kbyte 1000byte
megabit
megabyte
gigabit
gigabyte
terabit
terabyte

SISTEMAS DE NUMERACION

DECIMAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, La base del sistema decimal es diez (10)
BINARIO 0, 1 La base del sistema es dos (2)
OCTAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 La base del sistema es 8
HEXADECIMAL;sistema con base 16 tiene 16 simbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

CONVERSION DE UN NUMERO DECIMAL A OTRO SISTEMA
Para convertir cualquier decimal a otro sistema, binario, octal o hexadecimal, realizamos divisiones sucesivas del decimal entre la base del sistema a convertir:
17 decimal al binario al octal y al hexadecimal

division cociente reciduo

17/20= 8 y sobra 1: 1* 0 0 0 1 (2) = 17 (10)
8/2= 4 y sobra 0
4/2 =2 y sobra 0
2/2 = 1* y sobra 0

17/8 = 2 y sobra 1 : 21 (8) octal resultante

17/16 = 1 y sobra 1 : 11 (16) hexadecimal resultante


CONVERSION DE UN NUMERO BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL AL DECIMAL
se escribe la forma exponencial del sistema dado y se ubica formando columna el número a convertir , multiplicamos en columna y sumamos en fila los productos. para pasar de octal a binario por ejemplo se convierte primero el octal a decimal y luego a binario.

EJERCICIOS DE TAREA, ENTREGAR EN HOJA DE EXAMEN CON PROCEDIMIENTO ( 11 de agosto)

Convertir los siguientes decimales a: binario, octal y a hexadecimal
57, 123, 78, 65, 98, 100

Convertir al decimal:
10101010, 10101, 101111, 11111, 10000, binarios
53, 121, 73, 35, 102, octales

1A, 29, 10A, 77, 3B, hexadecimales

cuantos bits y byte hay en cada número: 10010001000100 binario
12c del hexadecimal, 106 del octal.

CONVERSION DEL SISTEMA BINARIO A OCTAL CONVERSION DE BINARIOO A HEXADECIMAL

PROCESO. agrupamos los bits de derecha a izquierda formando trios si en la izquierda faltan bits para completar trios se adicionan ceros, acontinuacion cada trio se reemplaza por el respectivo equivalente en octal
CONVERSION DE OCTAL A BINARIO
PROCESO: SE REEMPLAZA CADA CIFRA DEL OCTAL POR LOS TRES BITS CORRESPONDIENTE AL BINARIO
CONVERSION DE BINARIO A HEXADECIMAL.
PROCESO: se agrupan los binarios en cuartetos y se reemplaza cada cuarteto por el respectivo hexadecimal, no olvidar completar cuarteto a la izquierda si es necesario

CONVERSION HEXADECIMAL A BINARIO
se reemplaza cada cifra hexadecimal por cuatro bits respectivos al binario respectivo,.


GENERACION DE NUMEROS BINARIOS

EL INTERRUPTO 0 SWITCH

UNO = 1 SI, PRENDIDO, ON, NIVEL ALTO (H) 5 VOLTIOS

CERO = 0, NO, APAGADO, OFF, NIVEL BAJO ( L) CERO VOLTIOS

OPERACIONES BINARIAS DE SUMA Y RESTA
0 + 1 = 1
1 + 0 =1
1+ 1= 10(2)

1 + 1 + 1 = (11)2
1+ 1+ 1 +1 = 100 ( 2)

Si la suma debe llevar se escribe el ultimo bit y se lleva el resto

LA RESTA
COMPLEMENTO cantidad que le hace falta a un numero para ser igul a otra cantidad, en los binarios existe complemento a uno y complemento a dos
COMPLEMENTO A UNO
se cambian ceros por uno y unos por ceros
COMPLEMENTO A DOS
Se hace complemento a uno y se suma al ultimo bit un uno
complemento a uno del binario 1010 = 0101
complemento a 2 del binario 1010 = 0101 + 0001 = 0110

RESTA BINARIA POR COMPLEMENTO A DOS

Restar en binario usando el complemento a dos

Y, por fin, vamos a ver cómo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos números puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:



Primer ejemplo:

Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45, en binario:


1011011 – 0101110 = 0101101


Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Pero esta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo:


1011011 + 1010010 = 0101101


En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Resta binaria en Complemento a 2

En la lección anterior se vió que el signo de un número positivo ó negativo se cambia calculando su complemento a 2. La resta de dos números con signo se calcula sumando el complemento a 2 del sustraendo al minuendo y descartando cualquier bit de acarreo final.

El siguiente procedimiento es necesario para calcular la resta de dos números:

  1. Obtener el complemento a 2 del sustraendo.

  2. Efectuar la suma del minuendo y el sustraendo en complemento a 2.

  3. Sí la suma presenta rebosamiento indica que la repuesta es positiva. Ignore el rebasamiento.

  4. Si no hay rebosamiento, entonces la repuesta es negativa. Para obtener a magnitud del número binario, obtenga el complemento a dos de la suma.

Ejemplo

Sustraer (1010111 - 1001000)2

1. El complemento a 2 de 1001000 es 0111000.

2. Sumamos el primer sumando y el complemento a 2 obtenido.



1 1 1 Acarreo

Comprobación en decimal:



1 0 1 0 1 1 1


87
+

0 1 1 1 0 0 0

- 72


1 0 0 0 1 1 1 1


15








Rebasamiento (Se ignora )

3. La respuesta es 00011112.


Elementos del álgebra de Boole

No es objeto de este curso un análisis profundo y formal de los postulados y teoremas del Algebra de Boole.

Los símbolos elementales son:
· 0: representativo de FALSO
· 1: representativo de VERDADERO

Las operaciones fundamentales son:
· Conjunción u operación AND (se representa con · )
· Disyunción u operación OR (se representa con + )
· Complementación, Negación u operación NOT ( se representa con una barra sobre la variable, )

Las variables son las proposiciones, que se representan o simbolizan por letras

Postulados:

Los postulados para las tres operaciones básicas, AND, OR Y NOT, son suficientes para deducir cualquier relación bolean.

OR AND NOT
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1

Teoremas:


1. Regla del cero y la unidad
a) X + 0 = X
b) X + 1 = 1
c) X · 1 = X
d) X · 0 = 0

2. Idempotencia o potencias iguales
a) X + X = X b) X · X = X

3. Complementación
a) X + = 1 b) X · = 0

4. Involución


5. Conmutatividad
a) conmutatividad del +
X + Y = Y + X
b) conmutatividad del ·
X · Y = Y · X

6. Asociatividad
a) asociatividad del +
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
b) asociatividad del ·
X · (Y · Z) = (X · Y) · Z

7. Distribuitividad
a) distribuitividad del +
X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)
b) distribuitividad del ·
X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z)

8. Leyes de absorción
a) X · (X + Y)= X
b) X · ( + Y)= X·Y
c) · (X + Y)= ·Y
d) (X + Y) · (X + )= X
e) X + X·Y = X
f) X + ·Y = X + Y
g) + X·Y = + Y
h) X·Y + X·= X

9. Teoremas de DeMorgan
a)
b)
c)
d)

10. Teoremas generalizados de DeMorgan
a) b)


Funciones lógicas de base: Por compleja que pueda ser la lógica digital, solo está basada en tres funciones lógicas muy sencillas, a partir de las cuales se consiguen condiciones más complejas. Cualquier tecnología con elementos que funcionen según las tres funciones de base se puede aplicar en la resolución de automatismos. La función NOT es verdadera siempre que la variable a la que se aplica es falsa y será falsa en caso contrario. La función OR se aplica sobre dos o más variables y será verdadera siempre que alguna de las variables sea verdadera, será falsa cuando todas las variables sean falsas. La función AND también se aplica sobre dos o más variables y será verdadera siempre que todas las variables sean verdaderas, será falsa siempre que alguna variable sea falsa.

La función NOT o inversión se representa con una barra sobre la variable o condición a la que se aplica. La función OR se representa con el signo de la suma y la función AND se representa como un producto. Teniendo esto en cuenta ya debería deducir el significado de las funciones lógicas de la tarjeta de la máquina de refresco: Por ejemplo, la función f5 hace la operación AND con las tres entradas estando negada la "b", por lo tanto, es verdadera cuando estén accionados los captadores "a" y "c" y no esté accionado "b". Traducido a ceros y unos tendremos 101 que en decimal es el 5, luego la función f5 solo reconoce el decimal 5


COMPUERTAS LÓGICAS

Las computadoras digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información está representada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos.

La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 volts para representar el binario "1" y 0.5 volts para el binario "0". La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria.

Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviación aceptable del valor nominal. La región intermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transición de estado. Los terminales de entrada de un circuito digital aceptan señales binarias dentro de las tolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salida con señales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas.

La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lógico. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógicos que se denominan Compuertas.

Las compuertas son bloques del hardware que producen señales en binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadoras digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad.

A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de las compuertas más usadas.

Compuerta AND:

Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x.
La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0.
Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1.
El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*).
Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.

Compuerta OR:

La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0.
El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma.
Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.

Compuerta NOT:

El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria.
Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa.
El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.

Compuerta Separador (yes):

Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada.
Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma.
De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.

Compuerta NAND:

Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la señal).
La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido.
Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.

Compuerta NOR:

La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función OR.


Algebra booleana

Cuando se trabaja con circuitos digitales es muy común que al final de un diseño se tenga un circuito con un número de partes (circuitos integrados y otros) mayor al necesario.

Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes correcta (la menor posible) hay que optimizarlo (reducirlo).

Un diseño óptimo causará que:
- El circuito electrónico sea más simple
- El número de componentes sea el menor
- El precio de proyecto sea el más bajo
- La demanda de potencia del circuito sea menor
- El mantenimiento del circuito sea más fácil.
- Es espacio necesario (en el circuito impreso) para la implementación del circuito será menor.

En consecuencia que el diseño sea el más económico posible.

Una herramienta para reducir las expresiones lógicas de circuitos digitales es la matemáticas de expresiones lógicas, que fue presentada por George Boole en 1854, herramienta que desde entonces se conoce como álgebra de Boole.

Las reglas del álgebra Booleana son:

Nota:
- (punto): significa producto lógico
- + (signo de suma): significa suma lógica

Operaciones básicas

Algebra booleana. Operación AND. Operación OR y Operación NOT - Electrónica Unicrom

Ley Distributiva, ley Asociativa, ley Conmutativa

Ley distributiva - Algebra booleana - Electrónica Unicrom

Ley asociativa - Algebra booleana - Electrónica Unicrom

Precedencia y Teorema de Morgan


Para asegurarse de que la reducción del circuito electrónico fue exitosa, se puede utilizar la tabla de verdad que debe dar el mismo resultado para el circuito simplificado y el original.


Mapas de Karnaugh (simplificación de funciones booleanas)


Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos.

Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método.

Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables.

Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1". Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.

Ejemplo de tabla de verdad de 3 variables. Mapas de Karnaugt - Electrónica Unicrom

F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C

Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh.

Mapa de Karnaugh de 3 variables - Electrónica UnicromEste mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A, B, C))

La primera fila corresponde a A = 0
La segunda fila corresponde a A = 1
La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0)
La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1)
La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1)
La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)

En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores de F = "1" en la tabla de verdad.

Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh.

Para proceder con la simplificación, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2).

Los "1"s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s tenga el grupo, mejor.

La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de "1"s en cada grupo

Grupos de "1" formados en mapa de karnaugh de 3 variables - Electrónica UnicromSe ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir casillas entre los grupos).

La nueva expresión de la función boolena simplificada se deduce del mapa de Karnaugh.

- Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta columna) corresponden a B sin negar)
- Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior que corresponde a A sin negar)

Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B

Tabla de verdad para ejemplo de simplificación por mapa de Karnaugh - Electrónica UnicromEjemplo:

Una tabla de verdad como la de la, izquierda da la siguiente función booleana:

F = A B C + A B C + A B C + A B C

Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando F = "1"

Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno.

Grupos de "1" formados en ejemplo de mapa de karnaugh de 3 variables - Electrónica UnicromSe puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los tres grupos.

La función simplificada es:

F = A B + A C + B C

Grupo en azul: AB, grupo marrón:AC, grupo verde:BC






1 comentario:

LA ELECTRONICA dijo...

La pagina me parece muy ilustrativa para nuestro aprendizaje